La théorie du chaos

 La théorie du chaos

Introduction à la théorie du chaos et à la géométrie fractale par Manus J. Donahue.

J'ai traduit les passages intéressants de l'article de Manus J. Donahue. Il le composa en Décembre 1997, en tant qu'étudiant en mathématique, philosophie et physique de l'Université de Duke. Il fut cité dans le New York Times.

Le monde des mathématiques a été restreint pendant des siècles au monde linéaire. C'est pourquoi, les mathématiciens et les physiciens ont négligé le fait que les systèmes dynamiques étaient aléatoire et imprévisible. Les seules systèmes qui pouvaient être compris dans le passé étaient ceux qui semblaient être linéaire, c'est-à-dire, les systèmes qui suivaient un comportement et une organisation prévisible. Les équations linéaires, les fonctions linéaires, l'algèbre linéaire, la programmation linéaire et les accélérateurs linéaires sont tous les domaines qui ont été compris et maîtrisé par l'homme. Cependant, un problème se pose car nous ne vivons pas dans un monde linéaire, en fait, notre monde devrait effectivement être catégorisé comme non linéaire où la linéarité est un fait rare. Comment peut-on essayer de comprendre un système non linéaire dans un domaine, qui est restreint à la logique linéaire? C'est à cette question que les mathématiciens et les physiciens ont essayé de répondre et ainsi ils ont développé une nouvelle théorie: la théorie du chaos.

La théorie du chaos est l'étude qualitative du comportement instable et apériodique de systèmes dynamiques non-linéaires. Un système dynamique peut être définie comme un modèle simplifié d'un système réel évoluant dans le temps, ainsi le comportement apériodique est tout simplement le comportement qui se produit quand aucune variable décrivant l'état du système n'a deux fois la même valeur. Le comportement apériodique ne se répète jamais et il montre les effets de toutes les perturbations. Ainsi toute prévision du futur dans un système apériodique est impossible.

Par exemple, l'histoire de l'humanité est un système apériodique, certaines grandes tendances dans l'ascension et la chute des civilisations peuvent être modélisée, cependant aucun événement ne se répète exactement de la même manière. Ce qui est incroyable dans la théorie du chaos, c'est que le comportement instable et apériodique peut être trouvé dans des systèmes mathématiques extrêmement simple. Ces systèmes mathématiques très simple affichent des comportements complexes et imprévisibles, on peut ainsi les considérer comme aléatoires.

De nombreux sceptiques à la théorie du chaos se demandent pourquoi le chaos n'a pas été remarqué avant.

Si les systèmes chaotiques sont si évident à notre vie quotidienne, comment se fait-il que les mathématiciens n'ont pas remarqué la théorie du chaos plutôt?

La réponse peut être donnée en un mot : l'informatique.

Les calculs impliqués dans l'étude du chaos sont répétitives, ennuyeuses et se comptent par millions. Aucun être humain est assez stupide pour supporter l'ennui de l'étude du chaos, cependant un ordinateur est toujours prêt à relever le défi.

C'est pourquoi l'ordinateur est notre télescope lorsque l'on étudie le chaos. On ne peut pas vraiment explorer le chaos sans ordinateur.

Avant d'avancer dans les zones les plus précoces et avancées du chaos, il est nécessaire de toucher au principe fondamental qui décrit adéquatement la théorie du chaos, l'effet papillon. Ainsi on peut citer la maxime de Benjamin Franklin:

« À cause du clou, le fer fut perdu.
À cause du fer, le cheval fut perdu.
À cause du cheval, le cavalier fut perdu.
À cause du cavalier, le message fut perdu.
À cause du message, la bataille fut perdue.
À cause de la bataille, la guerre fut perdue.
À cause de la guerre, la liberté fut perdue.
Tout cela pour un simple clou. »

Nous comprenons donc que des variations sur les conditions initiales peuvent avoir d'importantes conséquences.

Peut-être que le symbole le plus identifiables liés à l'effet papillon est le célèbre attracteur de Lorentz ( lien pour explications: http://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz) .  

Les marchés financiers peuvent être considérés comme des systèmes dynamiques non linéaires.

Or, la théorie du chaos est le domaine des mathématiques dédié à l'étude des systèmes dynamiques non linéaire. Ainsi les chaoticiens ont déterminé que les prix du marché sont très aléatoires, mais ont une certaine tendance. 

Par ailleurs, les marchés financiers sont des systèmes auto-similaires car les différentes parties sont liées à l'ensemble. Un autre système auto-similaire dans le domaine des mathématiques sont les fractales.

Pourrions-nous associer les marchés financier à une fractale? Pourquoi pas?

Si l'on regarde les graphiques boursiers avec une échelle de temps mensuelle, hebdomadaire ou journalière, on remarque que la structure des courbes à une apparence similaire. Cependant, tout comme une fractale, le marché boursier a une dépendance sensible aux conditions initiales. Ce facteur est ce qui rend les marchés financiers si difficile à prévoir. Comme nous ne pouvons pas décrire avec précision la situation actuelle avec les détails nécessaires, nous ne pouvons pas prédire avec précision l'état du marché à une date ultérieure. Les traders peuvent réussir en suivant les tendances journalières et hebdomadaires. 

Nous pouvons conclure en disant que les marchés financiers peuvent être aléatoire dans le court terme et déterministe dans le long terme.